Дано уравнение: 4sinx = 5 - 4cos^2 x

Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1

Подставим это в уравнение: 4sinx = 5 - 4(1-sin^2 x)

Раскроем скобки: 4sinx = 5 - 4 + 4sin^2 x

Упростим: 4sinx = 1 + 4sin^2 x

Заменим sinx на s: 4s = 1 + 4s^2

Перенесем все члены в одну сторону: 4s^2 + 4s - 1 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
D = 4^2 - 44(-1) = 16 + 16 = 32

Теперь найдем корни уравнения:

s1,2 = (-b ± √D) / 2a
s1,2 = (-4 ± √32) / 8
s1,2 = (-4 ± 4√2) / 8
s1 = (-4 + 4√2) / 8 = √2 / 2
s2 = (-4 - 4√2) / 8 = -√2 / 2

Теперь найдем sinx:

sinx = s1 = √2 / 2
x1 = π/4 + 2πn, где n - целое число

sinx = s2 = -√2 / 2
x2 = 3π/4 + 2πn, где n - целое число

Итак, решения уравнения 4sinx = 5 - 4cos^2 x: x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.