Пусть длина стороны основания квадрата равна x, тогда высота коробки равна h.

Так как полная поверхность состоит из площади основания, 4 боковых стенок и верхней крышки, то:

12 = x^2 + 4xh + x^2 = 2x^2 + 4x*h

Для нахождения максимального объёма, нужно выразить высоту h через x и подставить в формулу объёма:

V = x^2 h = x^2 (3 - x) = 3x^2 - x^3

Теперь найдем максимум объема, продифференцировав его по x:

dV/dx = 6x - 3x^2 = 0

x = 2 м

Теперь найдем высоту h:

h = 3 - x = 1 м

Итак, размеры коробки: основание 2м x 2м, высота 1м.