Для нахождения производной выражения [tex]\ln(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] сначала приведем его к более удобному виду.

[tex]\ln(\sqrt{x^{2}+4}) = \ln((x^{2}+4)^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)[/tex]

Теперь мы имеем произведение двух функций: [tex]\frac{1}{2}[/tex] и [tex]\ln(x^{2}+4)[/tex]. Применим правило дифференцирования произведения функций:

[tex](f \cdot g)= f \cdot g + f \cdot g`[/tex]

где [tex]f = \frac{1}{2}[/tex] и [tex]g = \ln(x^{2}+4)[/tex].

Теперь найдем производные этих функций:

[tex]f` = 0[/tex] (производная константы равна нулю)

[tex]g` = \frac{1}{x^{2}+4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+4}[/tex]

Подставим найденные значения в формулу произведения функций:

[tex]\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^{2}+4} = \frac{x}{x^{2}+4}[/tex]

Таким образом, производная выражения [tex]\ln(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] равна [tex]\frac{x}{x^{2}+4}[/tex].