Данная функция Y=1/4x^4-1/3x^3-x^2 - четвертая степень - представляет собой полином.

Найдем первую производную функции:
Y' = x^3 - x^2 - 2x

Найдем вторую производную функции:
Y'' = 3x^2 - 2x - 2

Найдем точки экстремума функции, приравняв Y' к нулю:
x^3 - x^2 - 2x = 0
x(x^2 - x - 2) = 0
x(x-2)(x+1) = 0

Точки экстремума: x=0, x=2, x=-1

Найдем значения функции в найденных точках для определения типа экстремума:
Y(0) = 0
Y(2) = 4 - 8 - 4 = -8
Y(-1) = 1/4 - 1/3 - 1 = -8/12 = -2/3

Таким образом, точка (-1, -2/3) является точкой локального максимума функции.

Найдем точки перегиба функции, приравняв вторую производную к нулю:
3x^2 - 2x - 2 = 0
x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 43(-2)))/(2*3)
x = (2 ± √28)/6
x = (2 ± 2√7)/6

Точки перегиба: x= (2 + 2√7)/6, x= (2 - 2√7)/6

Определим выпуклость/вогнутость функции в найденных точках перегиба:
Для этого рассмотрим значений второй производной в окрестностях точек перегиба. Если Y''(x) > 0 - функция выпукла в этой точке, если Y''(x) < 0 - функция вогнута.

Подставим найденные значения x во вторую производную функции:
Y''((2 + 2√7)/6) ≈ 27.12 - 2(4 + 2√7)/6 - 2 ≈ -4.46
Y''((2 - 2√7)/6) ≈ 27.12 - 2(4 - 2√7)/6 - 2 ≈ -4.46

Таким образом, функция в точках перегиба ((2 + 2√7)/6, Y((2 + 2√7)/6)) и ((2 - 2√7)/6, Y((2 - 2√7)/6)) вогнута.

Таким образом, исследование данной функции позволяет нам определить, что у нее есть точки экстремума и перегиба, а также определить их типы.