Для решения данного предела разделим числитель и знаменатель на составляющие множители и упростим:

(n+1)! (2n+3) / (3(n+1))! (3n)! / n! (2n+1) = (n+1) (2n+3) / (3n+3) (3n)! / n! (2n+1)

Упрощаем выражение:

= (n+1) (2n+3) / (3n+3) (3n)! / n! * (2n+1)

= (2n^2 + 5n + 3) / 3 (3n)! / n! (2n+1)

= (2n^2 + 5n + 3) / 3 (3n) (3n-1) (3n-2) ... 3 2 1 / n (n-1) (n-2) ... 3 2 1 (2n+1)

= (2n^2 + 5n + 3) / 3 (3n)! / n! (2n+1)

Преобразуем выражение и упростим:

= (2n^2 + 5n + 3) / 3 (3n)! / n! (2n+1)

= (2n + 3)(n + 1) / (2n + 1)

= 2n + 3

Таким образом, lim n стремится к бесконечности (n+1)! (2n+3) / (3(n+1))! * (3n)! / n! (2n+1) = бесконечность.