Для начала преобразуем левую часть тождества:

(1 + tg^2(a))cos^2(a) + sin^2(a)(1 + ctg^2(a))

Раскроем квадрат косинуса и тангенса:

= (1/cos^2(a))cos^2(a) + sin^2(a) + sin^2(a)(1 + (cos^2(a)/sin^2(a)))

= 1 + sin^2(a) + sin^2(a)(1 + cos^2(a)/sin^2(a))

= 1 + sin^2(a) + sin^2(a)(sin^2(a) + cos^2(a))/sin^2(a)

= 1 + sin^2(a) + sin^2(a)(1)/sin^2(a)

= 1 + sin^2(a) + sin^2(a)

= 1 + 2sin^2(a)

Вспомним тригонометрическое тождество:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

= 1 + 2(1 - cos^2(a))

= 3 - 2cos^2(a)

Таким образом, исходное тождество (1 + tg^2(a))cos^2(a) + sin^2(a)(1 + ctg^2(a)) = 2 можно рассмотреть как утверждение 3 - 2cos^2(a) = 2 или 3 - 2cos^2(a) = 2, что действительно верно. Таким образом, тождество доказано.