Формула суммы квадратов первых n натуральных чисел:

[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]

Давайте проверим эту формулу при помощи математической индукции:

База индукции: для n = 1
Левая часть: (1^2 = 1)
Правая часть: (\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{6}{6} = 1)

Формула верна для n = 1.

Предположение индукции: предположим, что формула верна для n = k, т.е.
[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}]

Шаг индукции: докажем, что формула верна для n = k+1
Рассмотрим сумму квадратов первых k+1 натуральных чисел:
[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2]

Преобразуем правую часть:
[\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{(2k^3+3k^2+k)+(6k^2+12k+6)}{6}]
[\frac{2k^3+3k^2+k+6k^2+12k+6}{6} = \frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}]

Таким образом, формула верна для n = k+1.

Исходя из базы, предположения и шага индукции, можем сделать вывод, что формула суммы квадратов первых n натуральных чисел верна для всех натуральных чисел n.