Пусть длины сторон четырехугольника равны a, b, c и d. Так как периметр равен 59 см, то a + b + c + d = 59.

По условию известно, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Пусть e - длина диагонали.

Рассмотрим первый треугольник. По теореме Пифагора, e^2 = a^2 + b^2.

Рассмотрим второй треугольник. По теореме Пифагора, e^2 = c^2 + d^2.

Подставляем данные по периметрам треугольников:
34 = a + b
39 = c + d

Из выражения для периметра 59см и периметров треугольников найдем a, b, c и d:
a + b = 34, c + d = 39
a = 34 - b, c = 39 - d

Подставляем в уравнения треугольников и получаем:
e^2 = (34 - b)^2 + b^2
e^2 = (39 - d)^2 + d^2

После подстановки и раскрытия скобок, у нас возникнут уравнения с двумя неизвестными b и d, которые можно решить методом подбора или подставив численные значения. Получившиеся значения b и d подставим в уравнения треугольников и продолжим решение.

Найденное значение длины диагонали e будет ответом.