Для нахождения производной функции g(x) = x · √(x+1), используем правило дифференцирования произведения функций:

(g(x))' = x' √(x+1) + x (√(x+1))'

Найдем производные компонентов:

x' = 1
(√(x+1))' = (x+1)^(1/2)' = 1/2(x+1)^(-1/2) = 1/(2√(x+1))

Подставляем найденные производные:

(g(x))' = 1 √(x+1) + x (1/(2√(x+1)))
(g(x))' = √(x+1) + x/(2√(x+1))

Теперь преобразуем полученное выражение:

(g(x))' = √(x+1) + x/(2√(x+1))
(g(x))' = (√(x+1))^2 + x/2√(x+1)
(g(x))' = x+1 + x/2√(x+1)
(g(x))' = x+1 + x/(2√(x+1))
(g(x))' = (2(x+1) + x)/(2√(x+1))
(g(x))' = (2x+2+x)/(2√(x+1))
(g(x))' = (3x+2)/(2√(x+1))

Таким образом, производная функции g(x) = x · √(x+1) равна (3x+2)/(2√(x+1))