Для доказательства предела последовательности (a_n) при (n \rightarrow \infty) равного (a = \frac{6}{5}), воспользуемся определением предела последовательности.

По определению,
(\lim_{n \to \infty} a_n = a) означает, что для любого (\varepsilon > 0) существует такое число (N), что для всех (n > N) выполняется неравенство (|a_n - a| < \varepsilon).

Дано:
[a_{n}=\frac{6n+7}{5n-1}]
[a=\frac{6}{5}]

Докажем, что (\lim_{n \to \infty} a_n = a).

Решение:
[|a_n - a| = \left|\frac{6n+7}{5n-1} - \frac{6}{5}\right|]
[= \left|\frac{30n + 35 - 6(5n - 1)}{5(5n - 1)}\right|]
[= \left|\frac{30n + 35 - 30n + 6}{5(5n - 1)}\right|]
[= \frac{41}{5(5n - 1)}]

Теперь выберем (N), такое, что: (\frac{41}{5(5n - 1)} < \varepsilon)
[41 < 5(5n - 1)\varepsilon]
[\frac{41}{5\varepsilon} + 1 < 5n]
[N = \left\lceil\frac{41}{5\varepsilon} + 1\right\rceil]

Таким образом, для любого (\varepsilon > 0) можно подобрать такое (N), что при (n > N) будет выполняться неравенство (|an - a| < \varepsilon). Это доказывает, что (\lim{n \to \infty} a_n = a = \frac{6}{5}).