Для нахождения апофемы правильной четырехугольной пирамиды используем формулу:

(A = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{4h^2 - a^2}),

где (A) - площадь основания пирамиды (100 см²), (a = 13) см - длина бокового ребра, (h) - высота пирамиды.

Подставляем известные значения и находим высоту (h):

(100 = \frac{13}{2} \cdot \sqrt{4h^2 - 13^2}),
(200 = 13 \cdot \sqrt{4h^2 - 169}),
( \frac{200}{13} = \sqrt{4h^2 - 169}),
(\frac{40000}{169} = 4h^2 - 169),
(4h^2 = \frac{40000}{169} + 169),
(4h^2 = \frac{40000 + 169 \cdot 169}{169}),
(4h^2 = \frac{40000 + 28561}{169}),
(4h^2 = \frac{68561}{169}),
(h^2 = \frac{68561}{676}).

Откуда можно найти высоту (h = \sqrt{\frac{68561}{676}} \approx 13{,}07) см.

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, воспользуемся формулой:

(S = \frac{a}{2} \cdot P),

где (S) - площадь боковой поверхности, (a = 13) см - длина бокового ребра, (P) - периметр основания.

Периметр основания четырехугольной пирамиды равен (4a = 4 \cdot 13 = 52) см.

Подставляем значения и находим площадь боковой поверхности:

(S = \frac{13}{2} \cdot 52 = 338) см².

Итак, апофема пирамиды составляет примерно 13,07 см, а площадь боковой поверхности равна 338 см².