Нахождение области определения: Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как любое действительное число может быть возведено в четвертую степень и использовано в арифметических операциях.
Нахождение нулей функции: Чтобы найти нули функции f(x), нужно приравнять ее к нулю и решить уравнение: 2x^4 - x = 0 x(2x^3 - 1) = 0 x = 0 или x^(1/3) = 1/√2 Таким образом, нулями функции f(x) являются x = 0 и x = √2/2.
Исследование функции на экстремумы: Найдем производную функции f(x): f'(x) = 8x^3 - 1 Для нахождения критических точек приравняем f'(x) к нулю: 8x^3 - 1 = 0 8x^3 = 1 x = 1/2 Таким образом, критическая точка функции f(x) находится при x = 1/2. Для проверки экстремума используем вторую производную: f''(x) = 24x^2 Подставим x = 1/2: f''(1/2) = 24*(1/2)^2 = 6 Поскольку вторая производная положительна, это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.
Исследование функции на поведение на бесконечности: При анализе предела функции f(x) при x -> ±∞, становится видно, что члены со старшими степенями доминируют, и функция будет приближаться к бесконечности в положительном направлении.
Итоговый вывод: Функция f(x) = 2x^4 - x имеет область определения всех действительных чисел, нули в точках x = 0 и x = √2/2, локальный минимум в точке x = 1/2, и стремится к бесконечности при x -> ±∞.
Нахождение области определения:
Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как любое действительное число может быть возведено в четвертую степень и использовано в арифметических операциях.
Нахождение нулей функции:
Чтобы найти нули функции f(x), нужно приравнять ее к нулю и решить уравнение:
2x^4 - x = 0
x(2x^3 - 1) = 0
x = 0 или x^(1/3) = 1/√2
Таким образом, нулями функции f(x) являются x = 0 и x = √2/2.
Исследование функции на экстремумы:
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 8x^3 - 1
Для нахождения критических точек приравняем f'(x) к нулю:
8x^3 - 1 = 0
8x^3 = 1
x = 1/2
Таким образом, критическая точка функции f(x) находится при x = 1/2.
Для проверки экстремума используем вторую производную:
f''(x) = 24x^2
Подставим x = 1/2:
f''(1/2) = 24*(1/2)^2 = 6
Поскольку вторая производная положительна, это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 1/2.
Исследование функции на поведение на бесконечности:
При анализе предела функции f(x) при x -> ±∞, становится видно, что члены со старшими степенями доминируют, и функция будет приближаться к бесконечности в положительном направлении.
Итоговый вывод:
Функция f(x) = 2x^4 - x имеет область определения всех действительных чисел, нули в точках x = 0 и x = √2/2, локальный минимум в точке x = 1/2, и стремится к бесконечности при x -> ±∞.