Для доказательства неравенства (a+b)^3 <= 4(a^3 + b^3) раскроем обе части неравенства:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

4(a^3 + b^3) = 4a^3 + 4b^3

Теперь сравним обе части:

a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 <= 4a^3 + 4b^3

Проведем некоторые преобразования:

a^3 + b^3 + 3(a^2b + ab^2) <= 4a^3 + 4b^3

a^3 + b^3 - 4a^3 - 4b^3 + 3(a^2b + ab^2) <= 0

-3a^3 - 3b^3 + 3a^2b + 3ab^2 <= 0

-3(a^3 + b^3 - a^2b - ab^2) <= 0

-3(a-b)^2(a+b) <= 0

Так как квадрат числа и число равны либо больше нуля, либо равны нулю, получаем:

(a-b)^2(a+b) >= 0

Таким образом, неравенство (a+b)^3 <= 4(a^3 + b^3) доказано.