Для упрощения данного выражения выразим деление на ( \frac{1}{2\sqrt{3}} ) как умножение на ( 2\sqrt{3} ):

( (2\sqrt{27} - \frac{1}{2\sqrt{6}} + 4\sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} )

Теперь упростим каждое слагаемое:

( 2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} )( \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{12} )( 4\sqrt{3} ) остается без изменений

Теперь подставим упрощенные значения:

( (6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{12} + 4 \sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} )

Раскрываем скобки и проведем арифметические операции:

( 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} )

( 12 \cdot 3 - \frac{\sqrt{6}}{6} + 8\sqrt{3} )

( 36 - \frac{\sqrt{6}}{6} + 8\sqrt{3} )

Таким образом, выражение ( (2\sqrt{27} - \frac{1}{2\sqrt{6}} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2\sqrt{3}} ) равно ( 36 - \frac{\sqrt{6}}{6} + 8\sqrt{3} ).