Для начала решим уравнение:

ctg(2x - π/6) = 1

Переведем ctg в тангенс:

tan(2x - π/6) = 1

Так как тангенс равен 1 на интервалах [-π/2, π/2] и [π/2, 3π/2], рассмотрим два случая:

2x - π/6 = π/4 + πk, где k - целое число2x - π/6 = 5π/4 + πk, где k - целое число

Для первого случая:

2x - π/6 = π/4 + πk
2x = 5π/12 + πk
x = 5π/24 + πk/2

Для второго случая:

2x - π/6 = 5π/4 + πk
2x = 17π/12 + πk
x = 17π/24 + πk/2

Теперь найдем все корни на интервале [-4π, 2π]:

x = 5π/24, при k = 0x = 17π/24, при k = 0x = 5π/24 + π/2 = 13π/24, при k = 1x = 17π/24 + π/2 = 25π/24, при k = 1

Таким образом, на интервале [-4π, 2π] уравнение ctg(2x - π/6) = 1 имеет 4 корня: x = 5π/24, 17π/24, 13π/24, 25π/24.