Для того, чтобы найти предел функции [tex]\lim_{x \to 0} (\cos(3x) - \frac{1}{x\tan(2x)})[/tex], мы можем использовать теорему о пределе частного двух функций.

Сначала разберемся с частями выражения:

[tex]\lim_{x \to 0} \cos(3x)[/tex]

Функция [tex]\cos(3x)[/tex] непрерывна при всех значениях x, включая x = 0. Поэтому предел этой функции при x стремящемся к 0 равен [tex]\cos(0) = 1[/tex].

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x\tan(2x)}[/tex]

При x стремящемся к 0, [tex]\tan(2x)[/tex] будет стремиться к 0, поэтому выражение в знаменателе будет стремиться к [tex]\frac{1}{0}[/tex], что является бесконечностью.

Теперь соберем две части вместе:

[tex]\lim_{x \to 0} (\cos(3x) - \frac{1}{x\tan(2x)}) = 1 - \infty[/tex]

Поскольку это выражение неопределено (1 минус бесконечность), результатом будет неопределенный предел.