Данное уравнение можно переписать в виде (m+n)(m-n)=2014.
Так как 2014=21953, то в качестве m+n и m-n можно взять соответственно 2014 и 1 или 19 и 106, таким образом получим:

m+n=2014, m-n=1 => система уравнений имеет решения m=1007, n=1006,

m+n=19, m-n=106 => система уравнений имеет решения m=62.5, n=-43.5,

Следовательно, натуральные числа m, n, для которых выполняется равенство m^2-n^2=2014, это m=1007 и n=1006.