Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.
Интегрируя по частям, мы можем записать: [tex]\int{sin(x)e^x}[/tex] = [tex]sin(x)e^x - \int{cos(x)e^x}[/tex]
Теперь рассмотрим интеграл [tex]\int{cos(x)e^x}[/tex]. Для его нахождения также воспользуемся методом интегрирования по частям: [tex]\int{cos(x)e^x}[/tex] = [tex]cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x}[/tex]
Теперь подставим найденное значение этого интеграла обратно в первоначальное уравнение: [tex] \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - (cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x})[/tex]
Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые с интегралом на одну сторону, получим: [tex]2 \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - cos(x)e^x[/tex]
Делим обе части на 2: [tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex]
Где C - постоянная интегрирования. Получаем первообразную исходного выражения [tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex].
Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.
Интегрируя по частям, мы можем записать:
[tex]\int{sin(x)e^x}[/tex] = [tex]sin(x)e^x - \int{cos(x)e^x}[/tex]
Теперь рассмотрим интеграл [tex]\int{cos(x)e^x}[/tex]. Для его нахождения также воспользуемся методом интегрирования по частям:
[tex]\int{cos(x)e^x}[/tex] = [tex]cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x}[/tex]
Теперь подставим найденное значение этого интеграла обратно в первоначальное уравнение:
[tex] \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - (cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x})[/tex]
Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые с интегралом на одну сторону, получим:
[tex]2 \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - cos(x)e^x[/tex]
Делим обе части на 2:
[tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex]
Где C - постоянная интегрирования. Получаем первообразную исходного выражения [tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex].