Эта формула выводится из тригонометрических тождеств путем преобразований исходной формулы для [tex]\sin(2 \alpha )[/tex].

Исходная формула для [tex]\sin(2 \alpha )[/tex] - [tex]\sin(2 \alpha ) = 2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha )[/tex].

Далее используем формулы для [tex]\sin( \alpha )[/tex] и [tex]\cos( \alpha )[/tex]:

[tex]\sin( \alpha ) = \frac{2 \tan( \alpha )}{1 + \tan^{2}( \alpha )}[/tex] и
[tex]\cos( \alpha ) = \frac{1 - \tan^{2}( \alpha )}{1 + \tan^{2}( \alpha )}[/tex].

Подставляя эти формулы в исходное равенство получаем:

[tex]2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = 2 \left( \frac{2 \tan( \alpha )}{1 + \tan^{2}( \alpha )} \right) \left( \frac{1 - \tan^{2}( \alpha )}{1 + \tan^{2}( \alpha )} \right) = \frac{2 \tan( \alpha ) }{1 + { \tan( \alpha ) }^{2} }[/tex].

Таким образом, формула [tex]\sin(2 \alpha ) = \frac{2 \tan( \alpha ) }{1 + { \tan( \alpha ) }^{2} }[/tex] выводится из известных тригонометрических тождеств.