Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть t = tan(x/2), тогда dx = 2dt/(1 + t^2), а cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2).

Интеграл примет вид:

∫(0, π) dx / (3 + 2cos(x)) = ∫(0, π) (2dt / (1 + t^2)) / (3 + 2((1-t^2)/(1+t^2))) = ∫(0, π) 2dt / (3 + 2 - 2t^2) = ∫(0, π) 2dt / (5 - 2t^2) = 2∫(0, π) dt / (2.236^2 - t^2).

Теперь проведем следующую замену переменных: t = 2.236 sin(u), откуда dt = 2.236 cos(u)du.

Интеграл примет вид:

2∫(0, π) dt / (2.236^2 - t^2) = 2∫(0, π) 2.236 cos(u)du / (2.236^2 - (2.236 sin(u))^2) = 2∫(0, π) 2.236 cos(u)du / (2.236^2 (1 - sin^2(u))) = 2∫(0, π) 2.236 cos(u)du / 2.236^2 * cos^2(u) = 2∫(0, π) du = 2π.

Итак, ∫(0, π) dx / (3 + 2cos(x)) = 2π.