Докажем по индукции, что 5*2^(3n-2) + 3^(3n-1) делится на 19 без остатка для всех натуральных n.

База индукции: при n = 1
52^(31-2) + 3^(31-1) = 52^1 + 3^2 = 10 + 9 = 19,
что делится на 19 без остатка.

Предположение индукции: пусть утверждение верно для n = k
То есть 5*2^(3k-2) + 3^(3k-1) делится на 19 без остатка.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для n = k + 1
Рассмотрим выражение 52^(3(k+1)-2) + 3^(3(k+1)-1) = 52^(3k+1) + 3^(3k+2)

52^(3k+1) + 3^(3k+2) = 522^(3k) + 33^(3k).

Распишем это уравнение:

522^(3k) + 33^(3k) = 102^(3k) + 93^3k = 2(52^(3k)) + 9(3^(3k)).

По предположению индукции 5*2^(3k-2) + 3^(3k-1) делится на 19 без остатка, т.е. равно 19m, где m - целое число.

Тогда выражение превращается в 2(19m) + 9(3^(3k)) = 38m + 9(3^(3k)),
и, как видно, является суммой двух целых чисел, то есть делится на 19 без остатка.

Таким образом, утверждение доказано.