Для нахождения экстремумов функции y=x+1/x найдем производную этой функции:

y' = 1 - 1/x^2

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

1 - 1/x^2 = 0
1 = 1/x^2
x^2 = 1
x = ±1

Итак, у нас есть две точки, в которых могут быть экстремумы: x = 1 и x = -1.

Теперь найдем вторую производную функции y=x+1/x и определим их тип:

y'' = 2/x^3

Таким образом, при подстановке x = 1 и x = -1 для второй проивзодной получим значения:

y''(1) = 2/1^3 = 2
y''(-1) = 2/(-1)^3 = -2

Значение второй производной положительно в точке x = 1, поэтому в этой точке есть локальный минимум. А значение второй производной отрицательно в точке x = -1, поэтому в этой точке есть локальный максимум.

Итак, экстремумы функции y=x+1/x:

локальный минимум в точке x = 1локальный максимум в точке x = -1.