Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

ab = 90, (1)
a^2 + b^2 = 369. (2)

Из уравнения (1) найдем выражение для b: b = 90/a. Подставим это выражение в уравнение (2) и получим:

a^2 + (90/a)^2 = 369,
a^4 - 369a^2 + 8100 = 0.

Решив это квадратное уравнение относительно a^2, получим два корня: a^2 = 81 и a^2 = 100. Таким образом, возможны два варианта:

1) a = 9, b = 10;
2) a = 10, b = 9.

Итак, катеты этого треугольника могут быть равны 9 см и 10 см, либо 10 см и 9 см.