Пусть эти числа равны x и 10 - x (так как их сумма равна 10). Тогда сумма их кубов будет равна x^3 + (10-x)^3.

Найдем минимум этой функции:
f(x) = x^3 + (10-x)^3
f'(x) = 3x^2 - 3(10-x)^2
f'(x) = 3x^2 - 3(100 - 20x + x^2)
f'(x) = 3x^2 - 300 + 60x - 3x^2
f'(x) = 60x - 300

Теперь найдем экстремум:
60x - 300 = 0
60x = 300
x = 5

Таким образом, числа равны 5 и 10 - 5 = 5.