Наименьшее многозначное натуральное число, которое при делении на 60 и на 25 даёт в остатке 5, можно найти, используя китайскую теорему об остатках.

Обозначим искомое число как x. Тогда система уравнений будет выглядеть следующим образом:

x ≡ 5 (mod 60)
x ≡ 5 (mod 25)

Найдем решение этой системы уравнений, используя китайскую теорему об остатках.

Для уравнения x ≡ 5 (mod 60) сначала определим обратное по модулю 60 к 25. Найдем число b, такое что (25 b) mod 60 = 1. В данном случае b = 37, так как (25 37) mod 60 = 925 mod 60 = 1.

Теперь найдем частное от деления 5 на 25, которое равно 0. Теперь умножим это частное на обратное по модулю 60 к 25 (b = 37) и на 60:

x1 = 0 37 60 = 0

Аналогично, для уравнения x ≡ 5 (mod 25) найдем обратное по модулю 25 к 60. Найдем число b, такое что (60 b) mod 25 = 1. В данном случае b = 7, так как (60 7) mod 25 = 420 mod 25 = 1.

Теперь найдем частное от деления 5 на 60, которое равно 0, умножим это частное на обратное по модулю 25 к 60 (b = 7) и на 25:

x2 = 0 7 25 = 0

Теперь сложим x1 и x2, чтобы найти решение x:

x = x1 + x2 = 0 + 0 = 0

Таким образом, наименьшее многозначное натуральное число, которое при делении на 60 и 25 даёт в остатке 5, равно 0.