Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения обозначается как D и равен b^2 - 4ac, где у нас уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0.

В нашем уравнении у нас a = k-1, b = k+4, c = k+7. Тогда подставим значения в дискриминант:
D = (k+4)^2 - 4(k-1)(k+7).

D = k^2 + 8k +16 - 4(k^2 - k + 7k - 7).

D = k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 6k - 7).

D = k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 24k + 28.

D = -3k^2 - 16k + 44.

Теперь приравняем D к нулю и найдем значения k:
-3k^2 - 16k + 44 = 0.

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью метода дискриминанта или с помощью факторизации. Решив уравнение, мы найдем два значения k, которые обеспечат наличие одного корня у исходного уравнения.