Для начала докажем, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Найдем длины всех сторон четырёхугольника ABCD:
AB = √[(19-15)^2 + (9-3)^2] = √[4^2 + 6^2] = √(16 + 36) = √52
BC = √[(13-19)^2 + (13-9)^2] = √[(-6)^2 + 4^2] = √(36 + 16) = √52
CD = √[(9-13)^2 + (7-13)^2] = √[(-4)^2 + (-6)^2] = √(16 + 36) = √52
DA = √[(15-9)^2 + (3-7)^2] = √[6^2 + (-4)^2] = √(36 + 16) = √52

Таким образом, все стороны четырёхугольника ABCD равны между собой. Теперь докажем, что противоположные углы четырёхугольника ABCD равны между собой.

ABCD - прямоугольник, значит, у него есть два прямых угла: ∠ABC и ∠ADC.

Угол ∠ABC противоположен углу ∠ADC, а угол ∠ABD противоположен углу ∠ACD. Угол ∠ABC и ∠ADC являются прямыми, так как ABCD - прямоугольник, следовательно, угол ∠ABD и ∠ACD тоже равны прямым углам.

Таким образом, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD. Для этого найдем длины его сторон:
AB = √52
BC = √52

Так как ABCD - прямоугольник, то AB параллелен CD и BC параллелен AD. Значит, BC = AD = 13 - 9 = 4 и AB = CD = 19 - 15 = 4.

Теперь найдем площадь прямоугольника ABCD:
S = AB BC = 4 4 = 16

Площадь прямоугольника ABCD равна 16.