Для начала найдем направляющий вектор прямой. У нас дано, что прямая задана уравнениями:
x - 3 = 2 + 5t
y - 1 = 2t
z = -2t

Отсюда можем выразить направляющий вектор прямой:
v = (1, 2, -2)

Теперь найдем вектор нормали к плоскости. Уравнение плоскости дано:

4x - 2y - 2z - 3 = 0

Нормальный вектор к плоскости равен коэффициентам уравнения плоскости:
n = (4, -2, -2)

Теперь найдем угол между векторами v и n. Угол между векторами можно найти по формуле:
cos(θ) = (vn) / (|v| |n|)

где v*n - скалярное произведение векторов v и n, |v| и |n| - длины векторов v и n.

Сначала найдем скалярное произведение векторов v и n:
vn = 14 + 2(-2) + (-2)(-2) = 4 - 4 + 4 = 4

Теперь найдем длины векторов v и n:
|v| = √(1^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
|n| = √(4^2 + (-2)^2 + (-2)^2) = √(16 + 4 + 4) = √24 = 2√6

Подставим все найденные значения в формулу для нахождения косинуса угла:
cos(θ) = 4 / (3 * 2√6) = 4 / (6√6) = 2 / 3√6

Теперь найдем значение угла θ:
θ = arccos(2 / 3√6)

После вычислений получим значение угла между прямой и плоскостью.