Поскольку AM - медиана треугольника ABC, то AM делит сторону BC пополам. Пусть AM = MC = x.

Так как угол BAC + угол BKC = 180 градусов, угол BAC = 180 - угол BKC. Обозначим угол BAC за α.

По теореме синусов в треугольнике ABC:
sin(α) / AB = sin(∠ACB) / BC
sin(α) / 25 = sin(∠ACB) / 2x

По теореме синусов в треугольнике BKC:
sin(180 - α) / CK = sin(∠BKC) / BK
sin(α) / 16 = sin(∠BKC) / BK

Заметим, что sin(180 - α) = sin(α).

Отсюда получаем систему уравнений:
sin(α) / 25 = sin(∠ACB) / 2x
sin(α) / 16 = sin(∠BKC) / BK

Подставляем значения sin(∠ACB) (из первого уравнения) и sin(∠BKC) (из второго уравнения) в уравнения, и получаем:
sin(α) / 25 = 2 * sin(α) / BK
sin(α) / 16 = sin(α) / BK

Решаем эту систему уравнений и находим BK = 10/3.

Теперь можем найти длину отрезка AC:
AC = 2x = 2 * 10 = 20.

Итак, наименьшее возможное значение суммы длин отрезков AC и BK равно 20 + 10/3 = 70/3.