помогите решить . Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается прямой BD в точке D, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой BD, что и точка A. Из точки C к окружности провели касательные CK и CM (K, M – точки касания). Оказалось, что угол KCM=2 arcsin(корень из 1/13). Найдите сторону квадрата, если радиус окружности равен 25 корней из 2.
помогите решить . Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается прямой BD в точке D, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой BD, что и точка A. Из точки C к окружности провели касательные CK и CM (K, M – точки касания). Оказалось, что угол KCM=2 arcsin(корень из 1/13). Найдите сторону квадрата, если радиус окружности равен 25 корней из 2.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим сторону квадрата как а. Так как окружность касается прямой BD в точке D, то угол DBM=90 градусов.
Также из условия угол KCM=2 arcsin(корень из 1/13), что равно 2 arcsin(1/√13).
Поскольку CK и CM - касательные, угол MCK = 90 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник KCM. Мы знаем угол KCM и угол MCK, поэтому мы можем найти третий угол:
180 = КМС + KCM + MCK
180 = 2 arcsin(1/√13) + 90 + 2 arcsin(1/√13)
180 = 180
Таким образом, мы видим, что треугольник KCM - прямоугольный с гипотенузой KM, равной радиусу окружности, то есть 25√2.
Из этого следует, что:
tan(2 arcsin(1/√13)) = KM/CM
tan(2 arcsin(1/√13)) = 25√2/СМ
2 * tan (arcsin(x)) = 2x/√(1-x^2).
Подставим x = 1/√13:
2 * (1/√13) / √(1 - 1/13) = 25√2/CM
2/√(12/13) = 25√2/CM
2√(13/12) =25√2/СМ
CM = 25√2/(2√(13/12))
CM = 2512 / 213 = 150/13
Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике KCM, мы можем найти сторону квадрата а:
а = √(CK^2 + CM^2)
а = √(25^2 + (150/13)^2)
а = √(625 + 22500/169)
а = √(41875/169)
а = √(41875) / √(169)
a = 205/13.
Итак, сторона квадрата равна 205/13.