Для исследования функции у = (x^3)/(x+1) методами дифференциального исчисления, сначала найдем ее производную:

y' = (3x^2(x+1) - x^3)/((x+1)^2) = (2x^3 + 3x^2)/(x+1)^2.

Теперь найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю:

(2x^3 + 3x^2)/(x+1)^2 = 0.

2x^3 + 3x^2 = 0,

x^2(2x + 3) = 0.

Отсюда получаем два корня x = 0 и x = -3/2.

Теперь определим знак производной в интервалах (-∞, -3/2), (-3/2, 0), (0, +∞) и на найденных точках.

Для x < -3/2: При подстановке x < -3/2 в производную получаем положительное значение. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Для -3/2 < x < 0: При подстановке -3/2 < x < 0 в производную получаем отрицательное значение. Значит, функция убывает на этом интервале.

Для x > 0: При подстановке x > 0 в производную получаем положительное значение. Значит, функция возрастает на этом интервале.

Теперь построим график функции y = (x^3)/(x+1):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**3 / (x+1)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^3 / (x+1)')
plt.grid()
plt.show()