Сначала используем тождество tan^2(α) + 1 = sec^2(α):
tg²α = sec²α - 1

Заменим tg²α в исходном выражении:

tgα (1 + ctg²α) = tgα (1 + 1/(tg²α))
tgα (1 + 1/(sec²α - 1)) = tgα (sec²α/(sec²α - 1))

Теперь упростим дробь:

tgα (sec²α/(sec²α - 1)) = tgα ((1/cos²α)/(1/cos²α - 1)) = tgα / (1 - cos²α)

Используем тождество cos²(α) + sin²(α) = 1, чтобы заменить cos²(α) на sin²(α):

tgα / (1 - cos²α) = tgα / sin²α = cotgα * ctgα = 1

Ответ: 1.