Для исследования данной функции нужно найти ее производную и проанализировать ее поведение.

Производная функции y=1/2x^4-3x^2+2:
y'=2x^3-6x

Далее найдем точки экстремума, равенства нулю производной функции:
2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0

x=0, x=√3, x=-√3

Изменение знаков производной и поведение функции в окрестности найденных точек экстремума:

При x< -√3 производная отрицательна, значит функция убывает.В точке x= -√3 достигается локальный минимум.При -√3 < x < 0 производная положительна, функция возрастает.В точке x=0 достигается локальный максимум.При 0 < x < √3 производная положительна, функция возрастает.В точке x= √3 достигается локальный минимум.При x> √3 производная положительна, функция убывает.

Таким образом, функция имеет локальный минимум в точках x= -√3 и x= √3, а максимум в точке x=0.