Для решения этого уравнения, мы можем использовать замену: ( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x ). Тогда уравнение примет вид:

( \sin 2x = 1 + \sqrt{2} \cdot \cos x + \cos 2x )

( \sin 2x = 1 + \sqrt{2} \cdot \cos x + 1 - 2\sin^2 x )

( 2\sin x \cos x = 2\sqrt{2} \cos x - 2\sin^2 x )

( 2\sin x \cos x + 2\sin^2 x = 2\sqrt{2} \cos x )

( 2\sin x (\cos x + \sin x) = 2\sqrt{2} \cos x )

Далее рассмотрим два случая:

Если ( \cos x \neq 0 ), то можно поделить обе части уравнения на (2\cos x ) и получим:

( \sin x + \cos x = \sqrt{2} )

Используя тригонометрическое тождество ( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) ), мы можем написать:

( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1 )

( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} )

( x = \frac{\pi}{4} )

Итак, первый корень ( x = \frac{\pi}{4} ).

Если ( \cos x = 0 ), значит ( x = \frac{\pi}{2} ).

Итак, корни уравнения ( \sin 2x = 2\sqrt{2} \cos x ) равны ( x = \frac{\pi}{4} ) и ( x = \frac{\pi}{2} ).