Для доказательства того, что функция f(x) = x^3 + x возрастает на множестве действительных чисел, достаточно показать, что ее производная неотрицательна.

Найдем производную функции f(x):
f'(x) = d/dx (x^3 + x) = 3x^2 + 1

Теперь проверим знак производной на всем множестве действительных чисел. Для этого рассмотрим два случая:

Если x > 0, то производная f'(x) = 3x^2 + 1 является положительной, так как все слагаемые положительны при положительном x.Если x < 0, то производная f'(x) = 3x^2 + 1 также является положительной, так как при отрицательном x первое слагаемое положительное, а второе слагаемое при любом x положительное.

Таким образом, производная функции f(x) = x^3 + x неотрицательна на всем множестве действительных чисел, что означает, что функция возрастает. Таким образом, функция f(x) = x^3 + x возрастает на множестве действительных чисел.