Для нахождения первого члена и суммы геометрической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

bₙ = b₁ q^(n-1) - формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии, где b₁ - первый член последовательности, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена
Sₙ = b₁ (1 - q^n) / (1 - q) - формула для нахождения суммы n членов геометрической прогрессии

Из условия задачи у нас имеются значения b₂ = 37 1/3 и b₆ = 2 1/3.

b₂ = b₁ q^(2-1) = b₁ q
37 1/3 = b₁ * q

b₆ = b₁ q^(6-1) = b₁ q^5
2 1/3 = b₁ * q^5

Из первого уравнения найдем b₁ через q:

b₁ = (37 1/3) / q

Подставляем это во второе уравнение:

2 1/3 = ((37 1/3) / q) q^5
2 1/3 = (37 1/3) q^4
7/3 = 112/3 * q^4
7/112 = q^4
q = (√7) / 2

Теперь можем найти первый член прогрессии b₁:

b₁ = (37 1/3) / ((√7) / 2)
b₁ = (112/3) / (√7 / 2)
b₁ = 224/3 * (2 / √7)
b₁ = 448 / (3√7)

Также можем найти сумму геометрической прогрессии:

S₆ = b₁ (1 - q^6) / (1 - q)
S₆ = (448 / (3√7)) (1 - ((√7) / 2)^6) / (1 - (√7) / 2)
S₆ = 448 / (3√7) (1 - 7/8) / (1 - √7 / 2)
S₆ = 448 / (3√7) (1/8) / (1 - √7 / 2)
S₆ = 448 / ((3√7) 8) / (1 - √7 / 2)
S₆ = 448 / (24√7) / (1 - √7 / 2)
S₆ = 448 / (24√7) / ((2 - √7) / 2)
S₆ = 448 / (24√7) (2 / (2 - √7))
S₆ = 448 / (48√7) (2 / (2 - √7))
S₆ = 224 / (24√7) (2 / (2 - √7))
S₆ = 224 / (24√7) (2(2 + √7) / (2(2 - √7)))
S₆ = 224 / (24√7) (4 + 2√7) / (4 - 7)
S₆ = 224 / (24√7) (4 + 2√7) / (4 - 7)
S₆ = 224 / (24√7) (4 + 2√7) / -3
S₆ = - 224 / (72√7) (4 + 2√7)
S₆ = - 224 / (288√7) (4 + 2√7)
S₆ = - 224(4 + 2√7) / (288√7)
S₆ = - 896 - 448√7 / (288√7)
S₆ = - (896 + 448√7) / (288√7)