Объем конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 3:2, считая от вершины, параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Объем конуса равен 250. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 3:2, считая от вершины, параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим высоту конуса за h, радиус основания за R, радиус меньшего конуса за r, и высоту меньшего конуса за x.
Из условия известно, что объем большего конуса равен 250, поэтому можем записать формулу для объема конуса:
V_1 = (1/3) π R^2 * h = 250
Также известно, что точка, делящая высоту в отношении 3:2, находится на расстоянии 3h/5 от вершины большего конуса. Таким образом, высота меньшего конуса x равна 2h/5.
Теперь можем записать формулу для объема меньшего конуса:
V_2 = (1/3) π r^2 * x
Так как вершины большего и меньшего конусов совпадают, то из подобия конусов следует, что отношение объемов конусов равно кубу отношения соответствующих высот:
V_2/V_1 = (r/R)^2 (x/h) = (r/R)^2 (2h/5) / h = (r/R)^2 * 2/5
Так как объем меньшего конуса равен V_2, а объем большего конуса равен 250, то:
V_2 = (r/R)^2 2/5 250
Таким образом, получаем:
V_2 = 2/5 (r/R)^2 250
Так как V_1 = 250 и V_2 = (1/3) π r^2 * (2h/5), подставляем в выражение из подобия конусов:
(1/3) π r^2 (2h/5) = 2/5 (r/R)^2 * 250
после преобразований получаем:
r/R = 2/3
Теперь подставляем r/R = 2/3 в формулу для объема меньшего конуса:
V_2 = 2/5 (2/3)^2 250
V_2 = 2/5 (4/9) 250
V_2 = 2 * 40 = 80
Таким образом, объем меньшего конуса равен 80.