Для начала определим уравнение прямой данной в пространстве. Пусть уравнение прямой имеет вид ( Ax + By + Cz + D = 0 ).

Так как прямая проходит через точку ( M(x_0, y_0, z_0) ), то коэффициенты ( A, B, C ) находятся из условий:

[ A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D = 0 ]

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2 и 4. Диагонали противоположных граней будут равны корням из суммы квадратов этих измерений, то есть диагонали равны ( d_1 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} ) и ( d_2 = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17} ).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны диагонали основания и высоты: (\sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{21} ).

Теперь найдем расстояние от вершины до прямой. Пусть данная вершина имеет координаты ( A(x_1, y_1, z_1) ), а прямая задана уравнением ( Ax + By + Cz + D = 0 ).

Расстояние от точки ( A ) до прямой ( Ax + By + Cz + D = 0 ) находится по формуле:

[ \rho = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right| ]

Подставляем известные данные и рассчитываем расстояние для каждой вершины параллелепипеда.