1) Точки F(8,1,0), E(0,0,4) и K(0,5,1) равны:

F(8,1,0) - находится в I четвертиE(0,0,4) - находится в III четвертиK(0,5,1) - находится в I четверти

2) Точки F и K лежат на координатной плоскости XY, точка E лежит на координатной плоскости ZY.

3) Для того чтобы доказать, что треугольник FKE равнобедренный, нам нужно показать, что два его бока равны. Для этого найдем длины сторон треугольника:

Сторона FK: √((8-0)^2 + (1-5)^2 + (0-1)^2) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9Сторона FE: √((8-0)^2 + (1-0)^2 + (0-4)^2) = √(64 + 1 + 16) = √81 = 9Сторона EK: √((0-0)^2 + (5-0)^2 + (4-1)^2) = √(0 + 25 + 9) = √34

Таким образом, стороны FK и FE равны 9, а сторона EK равна √34. Таким образом, треугольник FKE не является равнобедренным.

4) Для того чтобы вычислить площадь треугольника FKE, нам необходимо использовать формулу площади треугольника по трём сторонам - формула Герона:
S = √p(p-a)(p-b)*(p-c), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон.

p = (a + b + c) / 2 = (9 + 9 + √34) / 2 = (18 + √34) / 2 = 9 + √34 / 2.

S = √(9 + √34 / 2 (9 + √34 / 2 - 9) (9 + √34 / 2 - 9) (9 + √34 / 2 - √34) = √(9 + √34 / 2 √34 / 2 √34 / 2 (-√34)) = √(9 + √34 √34 √34 -√34) = √(9 + 34 -34) = √(9 - 1156) = √(-1147).

Таким образом, площадь треугольника FKE равна √(-1147).