Для решения уравнения 1 + sin(4x) + cos(x) = 0, сначала преобразуем его:

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)
cos(x) = 1 - 2sin^2(х)

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

1 + 2sin(2x)cos(2x) + 1 - 2sin^2(x) = 0
2sin(2x)cos(2x) - 2sin^2(x) = -2
sin(4x) - sin^2(x) = -1

sin(4x) - sin^2(x) + 1 = 0
(1 - sin^2(x))(1 - sin(4x)) = 0
sin^2(x) = 1 и sin(4x) = 1

sin^2(x) = 1
sin(x) = ±1
x = π/2 + 2πk, k – целое число

sin(4x) = 1
4x = π/2 + 2πk
x = π/8 + πk/2, k – целое число

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений: x = π/2 + 2πk и x = π/8 + πk/2, где k – целое число.