Для того чтобы найти наибольшее натуральное число n, для которого выражение √(n^2 + 85n + 2017) целое число, мы можем рассмотреть дискриминант квадратного уравнения под корнем.

Для уравнения n^2 + 85n + 2017 = k^2, где k - целое число, дискриминант должен быть полным квадратом.

Дискриминант D = 85^2 - 4*2017 = 7225 - 8068 = -843

Поскольку дискриминант отрицательный, выражение под корнем не будет иметь целых корней для любых натуральных n. Значит, такого наибольшего натурального числа n не существует.