Допустим, что функция f(x) не непрерывна на всей прямой. Тогда существует точка c, в которой разрыв функции.

Пусть существует предел f(c-) и f(c+), а также f(c-) ≠ f(c+). Рассмотрим функцию f(x) + f(ax) в окрестности точки c. Поскольку функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой, то она непрерывна и в точке c. Но тогда предел функции f(x) + f(ax) при x стремящемся к c равен f(c-) + f(ac-), а при x стремящемся к c справа равен f(c+) + f(ac+).

Поскольку f(c-) ≠ f(c+), то пределы f(x) + f(ax) в точке c не совпадают, что противоречит непрерывности функции f(x) + f(ax) в точке c. Следовательно, исходное предположение неверно, и функция f(x) непрерывна на всей прямой.