Предлог "по" пишется раздельно в следующих случаях:

Когда перед ним стоят существительные в разных падежах: по дому, по квартире.Когда перед ним стоят местоимения в разных падежах: по ней, по ним.В составных числительных: двадцать по пять, сто по два.В некоторых выражениях: по-прежнему, по-разному, по-глупому.

Предлог "по" пишется слитно в следующих случаях:

Когда перед ним стоит наречие: поперек, поодаль, поскорее.В выражениях с предлогом "по" и наречием: посередине, поулочно, поодиночке.

Предлог "по" может быть использован через дефис с разными частями речи, например:

По-английскиПо-другомуПо-китайски

В этих случаях дефис используется для образования нового слова или выражения.