Необычной грамматической основой в предложении можно считать использование второстепенного инфинитива или пассивного залога.

Примеры интересных предложений с необычной основой:

Пляшут луны песок.На дороге был убит знаменитый певец.Будучи счастлив, он не мог поверить в свою удачу.