Предлог "через" используется в роли обстоятельства и имеет значение "сквозь". В данном предложении "через" выступает как часть составного обстоятельства места.

Морфологический разбор предлога "через":

Часть речи: предлогПадеж: винительныйВид: непрошедший, несовершенныйРод: общийЧисло: единственное

Таким образом, в данном предложении предлог "через" является винительным предлогом, который указывает на то, что действие совершается сквозь порог.