В данном предложении необходимо расставить запятые в следующих местах:

Запятая перед "что" (1) - вводное выражение, за которым следует пояснение:

Но, извините, что я должна прервать наш разговор,

Запятая перед "и" (4) - изолирует вводное "если вам угодно" (условие):

и, если вам угодно, сдержать ваше слово,

Таким образом, правильное распределение запятых будет следующим:

Но, извините, (1) что я должна прервать наш разговор, (2) мне надобно заняться делами, (3) и, (4) если вам угодно, сдержать ваше слово, (5) то прошу доставить мне список ваших надобностей (6) и чрез несколько дней всё будет готово к вашим услугам.