Правильно: юго‑западный (через дефис).
Правило: сложные прилагательные, образованные от двух равноправных географических направлений или от двух названий (с соединительной гласной $-о-$ или $-е-$), пишутся через дефис: северо‑восточный, юго‑западный, англо‑французский, восточно‑европейский.
Краткие замечания об исключениях: слитно пишутся слова с приставкой $-но$ типа «южноамериканский», а также производные от собственных имён, где слово исторически слитное («югославский»).