Верным будет второе предложение: "Услышав свой диагноз "шизофрения", я даже обрадовалась."

В данном случае кавычки не являются обязательными, так как слово "шизофрения" является названием конкретного диагноза и не требует выделения кавычками. Однако, если вы хотите подчеркнуть этот термин или выделить его в тексте, то можно использовать кавычки.