Для того чтобы документально подтвердить, что Егор и Георгий - это одно и то же имя, необходимо обратиться в ЗАГС, где ваша мама была зарегистрирована. Там можно запросить выписку из актового органа о регистрации ее имени при рождении, где будет указано, что она по предыдущему паспорту имела отчество Егоровна, а по новому - Георгиевна. Также можно обратиться к архиву ЗАГСа, чтобы получить копию документа о регистрации брака, где также указано это изменение имени.
Также, возможно обратиться к нотариусу для составления документа о том, что указанные имена действительно являются одним и тем же именем.