Сначала определим части речи каждого слова:

Дятел - существительное, именованное.застучал - глагол, возвратный.по - предлог.коре - существительное, обозначающее часть растения.березки - существительное, обозначающее вид дерева.крепким - прилагательное.клювом - существительное, обозначающее часть тела птицы.

Теперь проведем синтаксический разбор:

Дятел (подлежащее) застучал (сказуемое) по коре (обстоятельство) березки (дополнение) крепким (определение) клювом (дополнение).